MATEMATİK TARİHİ 1

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 4:55 pm

1- Misir ve Mezopotamya Matematigi :
Ilk döneme Misir matematigi ile baslayacagiz. Eski Misir matematigi ve genelde de Misir tarihi ile ilgili yazili belge- arkeolojik eser kalintilari yok denecek kadar azdir. Bunun temel iki nedeni vardir. Birincisi, eski Misirlilarin yaziyi papirüslere yazmalari; ikinci nedeni ise Iskenderiye kütüphanelerin geçirdikleri 3 büyük yangin sonucunda, ki bu yanginlarin sonuncusu 641 de Misirin Müslümanlar tarafindan fethi sirasinda olmustur, yazili belgelerin yok olmus olmasidir. Papirüs, Nil deltasinda büyüyen, kirmizimtirak renkte, saz türü bir bitkinin, ortalama 15-25 metre uzunlugunda ve 30-50 santim genisliginde olan yapraklaridir. Bu yapraklar kesilip, birlestirilip, preslendikten ve bazi basit islemlerden geçirildikten sonra, kagit yerine yazi yazmak için kullanilirmis. “Paper” , “papier” gibi bati dillerindeki kagit karsiligi sözcükler, papirüs sözcügünden türetilmistir. Bir papirüsün ortalama ömrü 300 yildir; 300 yil sonra, nem, isi ve benzeri nedenlerle, pul-pul olup dökülmektedir.

Günümüze, o çaglarda Misir daki matematikle ilgili, istisnai sartlar altinda saklandigi anlasilan, iki papirüs gelmistir. Misir matematigi hakkindaki bilgimizin ana kaynaklari bu iki papirüstür. Bu papirüslerden ilki, Ahmes ( ya da Rhind ) papirüsü olarak bilinen, 6 metre uzunlugunda ve 35 cm kadar genisliginde olan bir papirüstür. Bu papirüsün, M.Ö. 1850 li yillarda yazilmis olan bir pürüsün, M.Ö. 1650 lerde Ahmes isimli bir “matematikçi” tarafindan yazilan bir kopyasidir. Bu papirüsü 1850 lerde Irlandali antikaci H. Rhind satin almis ve simdi British museum dadir. Bu papirüs, matematik ögretmek gayesiyle yazilmis bir kitaptir. Giris kisminda, kesirli sayilarla islemleri ögretmek gayesiyle verilen birkaç alistirmadan sonra, çözümleriyle 87 soru verilmektedir. Bu sorular, paylasim hesabi, faiz hesabi veya bazi geometrik sekillerin alanini bulmak gibi, insanlarin günlük hayatta karsilasabilecegi türden sorulardir. Bu az-çok bizim 8. sinif matematigi düzeyinde bir matematiktir.

Moskova papirüsü diye bilinen ve simdi Moskova müzesinde olan ikinci papirüs de M.Ö. 1600 lerde yazilmis bir kitapçiktir. Bu papirüs 25 soru içermektedir. Bu sorular, ikisi hariç, Ahmes papirüsündeki sorular türündendir. Diger iki soruya gelince, onlardan biri, bir düzlemle kesilen küre parçasinin hacmi ve yüzeyinin alaninin hesaplanmasidir. Digeri ise, yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin bulunmasi sorusudur. Her iki soru da dogru olarak çözülmüstür. Bu iki soru Misir matematiginin zirvesi olarak kabul edilmektedir. Misirlilar, dairenin alaninin çapina orantili oldugunun farkina varmislar ve pi sayisini bulmuslardir. Misir matematigini 2000 yil boyunca bu düzeyde kaldigi ve kayda deger bir ilerleme göstermedigi anlasilmaktadir.

Mezopotamya’da yasamis medeniyetlerden (Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler,...; fetihler nedeniyle, bir zaman Hititler, Persler,...) zamanimiza, Misirdan kalandan bin kat daha fazla yazili belge kalmistir. Bunun nedeni, Mezopotamyalilarin yazi araci olarak kil tabletleri kullanmalaridir. Pisirilen yada güneste iyice kurutulan bir kil tabletin ömrü sonsuz denecek kadar uzundur. Yapilan kazilarda yarim milyondan fazla tablet bulunmustur. Bu tabletlerin önemli bir kismi Istanbul arkeoloji müzesindedir. Digerleri de dünyanin çesitli - Berlin, Moskova, British, Louvre, Yel, Colombia ve Pensilvanya- müzelerindedir. Bu tabletlerin, simdiye kadar incelenmis olanlarinin içinde, bes yüz kadarinda matematige rastlanmistir. Bu bölgede yasamis medeniyetlerin matematigi hakkinda bilgimiz bu tabletlerden gelmektedir.

Bu tabletlerden anlasilan, Mezopotamya’da matematik, Misir matematiginden daha ileridir; Mezopotamyalilar lise iki düzeyinde bir matematik bilgisine sahiptirler ve Misirlilarin bildikleri matematigi bildikleri gibi, ikinci dereceden bazi polinomlarin köklerini bulmasini, iki bilinmeyenli iki denklemden olusan bir sistemi çözmesini de biliyorlar.Burada sunu söylemekte fayda var , o zamanlarda henüz negatif ve irrasyonel sayilar bilinmemektedir. Bu nedenle ikinci dereceden her polinomun köklerini bulmalari mümkün degildir. Mezopotamyalilar, daha sonra Pisagor teoremi olarak adlandirilacak olan teoremi de biliyorlardi. Pi sayisini karesi 10 olan bir sayi olarak bilmekteler. Daha sonralari 3.15 olarak da kullanmislardir.

Mezopotamyalilarin sayi sistemi 60 tabanli bir sayi sistemidir. Bu sayi sistemi günümüzde de, denizcilik ve astronomi de kullanilmaktadir. Bizim sayi sisteminde 10 ve 10 nun kuvvetlerini kullandigimiz ve sayilari buna göre basamaklandirdigimiz gibi, onlar da sayilari 60 ve 60 in kuvvetlerine göre basamaklandirmaktadirlar. Bu sayi sisteminin en önemli özelligi basamakli, yani konumlu, bir sayi sistemi olmasidir. Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmüs olmasi bize bu sayi sisteminden kalan miraslardan sadece bir kaçidir.

Mezopotamyalilarin 60 tabanli bir sayi sistemi seçmis olmalarinin nedeni bilinmemektedir. Bu konuda ileri sürülen belli-basli üç görüs ya da varsayim sunlardir:

* 60 sayisinin 2,3,4,5,6,10,12,20,30 gibi çok sayida bölenleri olmasi onu günlük hayatta çok kullanisli kiliyordu; bu nedenle 60 tabanli bir sayi sistemi seçmislerdir.

* 60 tabanli sayi sisteminin seçiminden önce, o bölgede 10 ve 12 tabanli sayi sistemlerini kullanan medeniyetler olmustur. Daha sonra gelen bir medeniyet, daha önceki ölçü birimleriyle uyum saglamak için, 10 ile 12 nin en küçük ortak kati olan 60 ‘i sayi sistemlerinin tabani olarak almislardir.

* 60 tabanli sayi sisteminin seçimi, bir eldeki, bas parmak hariç, dört parmakta bulunan üç eklem yerini o zamanin insanlari sayi saymak için kullaniyorlardi; 4 parmakta 12 eklem yeri oldugu ve bir elde de bes parmak oldugu için bu iki sayinin çarpimi olan 60 ‘ i sayi sistemlerinin tabani olarak almislardir.

Bu konuda görüsler bunlardir. Eger bir gün 60 sayisinin niçin seçildigini izah eden bir tablet bulunursa o zaman gerçek anlasilacaktir. Bu dönemin matematigini toptan degerlendirecek olursak, temel özellikleri sunlardir:

a) Bu dönem matematiginde teorem, formül ve ispat yoktur. Bulgular emprik veya deneysel; islemler sayisaldir. Bunun böyle olmasi kaçinilmazdir zira o dönemde matematik, simgesel olarak degil, sözel olarak ifade edilmekte. Sözel ve sayisal matematikte ( geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaksiz olmasa da, kolay degildir.

b) Bu dönemin matematigi zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik “matematik için matematik “ anlayisiyla degil, günlük hayatin ihtiyaçlari için, yani “halk için matematik “ anlayisiyla yapilmaktadir. Matematigin kullanim alanlari ise, zaman-takvim belirlemek, muhasebe isleri ve günlük hayatin, insaat, miras dagitimi gibi diger isleridir. Dini ve milli günlerin, ibadet saatlerinin, deniz yolculuklarinin ve tarima uygun dönemlerin belirlenmesi için, bugün oldugu gibi, eski zamanlarda da dogru bir takvim yapmak son derece önemli bir is olmustur. Bu da ancak uzun süreli gökyüzü gözlemleri, ölçüm ve hesapla mümkündür. Bu matematigin kullanim alanlarindan en önemlisi ve matematigin gelismesine neden olan temel ihtiyaçlardan biridir. Devlet gelir-giderinin hesaplanmasi, mal varliklarinin tespit, kayit ve muhasebesi de devlet düzeni için elzem olan ve matematigin kullanildigi diger bir alandir. Bu da matematigin ögretilmesine ve dolayisiyla gelismesine neden olan ikinci bir temel ihtiyaç ve etmendir.

Bu dönem matematigi, bu bölge ülkelerinin kültürel varliklarinin, Pers istilasi sonucu son bulmasiyla son bulur.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 4:57 pm

2- Yunan Matematigi :

M.Ö. 600 lü yillar Pers’lerin orta doguya hakim olmaya basladigi yillardir. M.Ö. 550’ li yillara gelindiginde, Pers’ler, Anadolu, Misir dahil, bütün orta dogunun tek hakimidirler. Pers’ler, M.Ö.500-480 arasinda Yunanistan’a üç sefer düzenlerler; 480 de Atina’yi ele geçirerek yakarlar ama, bir yil sonra, 479 da Yunanlilar Persleri Yunanistan’dan atarlar. Bu tarih, M.Ö. 479, Yunan medeniyetinin baslangici olarak kabul edilen tarihtir.

Bu tarih, bilimde, sanatta edebiyatta çok parlak bir dönemin baslangici olan bir tarihtir. Yunan matematigi gerçekte bu dönemden daha önce baslamistir. Iki kisi, Tales (M.Ö. 624-547) ve Pisagor ( M.Ö.569-475), Yunan matematiginin babasi olarak kabul edilir. Tales Milet (Aydin) de dogmustur. Misir’a gittigi, bir süre orada kaldigi ve Misirda geometri ögrendigi bilinmektedir. Misirda iken, büyük piramidin gölgesinin uzunlugunu ölçerek, bu sayiyi, kendi boyunun o andaki gölgesinin boyuna olan oraniyla çarpmak suretiyle, büyük piramidin yüksekligini hesapladigi kitaplarda anlatila gelmektedir. Tales Milet’e döndükten sonra, ögrendiklerini ögretmek gayesiyle, kendi etrafinda bir grup olusturarak onlara geometri ögretmistir. Matematige – deneysel olarak dogrulamaya dayanmayan-akil yürütmeye dayali, soyut ispatin Tales’le girdigi kabul edilir. Ayrica, Tales insanlik tarihinin ilk filozofu olarak ta kabul edilen kisidir.

Yunan matematiginin diger babasi olan Pisagor Samos (Sisam) adasinda dogmustur. Pisagor’un bir süre Tales’in yaninda kaldigi, onun tavsiyelerine uyarak Misir’a gittigi, orada geometri ögrendigi, Misir tapinaklarini ziyaret edip, dini bilgiler edindigi, ve Misirin Pers’ler tarafindan isgali sirasinda, Pers’lere esir düserek Babil’e götürüldügü rivayet edilmektedir. Babil’de bulundugu 5 yil boyunca matematik, müzik ve dini bilgiler ögrenmis, Samos’a döndükten sonra bir okul olusturarak etrafina topladigi insanlara ögrendiklerini ögretmeye çalismistir. Siyasi nedenlerle, M.Ö. 518 Samos’dan ayrilarak, güney Italya’ya, Crotone sehrine yerlesmis ve orada yari mistik-yari bilimsel, tarikat vari bir okul olusturmustur. Bu okulun, “matematikoi” denen üst düzey kisileri beraber yasamaktalar ve birbirlerine yeminle baglidirlar. Ikinci gurup okula devam eden ögrencilerden olusmaktadir. Pisagor okulu sayi kültü üzerine kuruludur. Onlara göre, her sey sayilara indirgenebilir; sayilar arasinda tesadüfi olamayacak kadar mükemmel bir harmoni vardir ve harmoni ilahi harmoninin yansimasidir. O gün için bilinen sayilar 1,2,3,... gibi çokluk belirten tam sayilar; ve ½, ¾,...gibi parçanin bir bütüne oranini belirten kesirli sayilardir.

Pisagor teoremi olarak bilinen ( bir dik üçgenin dik kenarlarinin karesin toplami hipotenüsün karesine esittir) teorem ile irrasyonel sayilarin ortaya çikmasi Pisagor ekolünü derin bir krize sokmustur. Irrasyonel sayilarin kesfi matematigin ilk önemli krizidir.

Pisagor okulunun üyelerinin bir çogu Cylon isimli bir yobazin yönettigi bir baskin sonuncu katledilmislerdir. Pisagor hayatini kurtarmistir ama bir kaç sene sonra o da ölmüstür. Pisagor’un düsünceleri, Pisagor ekolu, su veya bu isim altinda uzun yillar yasamistir. Bu bilgilerden de anlasilacagi gibi, Yunan matematiginin temelinde Misir ve Mezopotamya matematigi vardir.

Atina’ da matematigin sistematik egitimi Platon’la (M.Ö. 427-347) baslar. Sokrat’in ögrencisi olan Platon, Sokrat’in ölüme mahkum edilip, zehir içerek ölmesinden sonra, uzun bir yolculuga çikar; 10 yil kadar Misir, Sicilya ve Italya’da kalir. Orada, Pisagorculardan matematik ögrenir. Matematigin dogru düsünme yetisi için ne denli önemli oldugunu anlayan Platon, Atina’ya döndügünde, M.Ö. 387 de, bir okul kurar ve ona Pers-Yunan savaslarin kahramanlarindan Akademius’un ismini verir. ( Bazi kaynaklara göre de Akademos, Platon’un okulunun kurulu oldugu alanin sahibinin ismidir). Bu Platon’un “akademi”sidir. Bu akademinin girisinde “her kim ki geometrici degildir, içeriye girmesin yazilidir”. O tarihlerde, henüz matematik sözcügü kullanilmamaktadir, “geometri” matematik sözcügünün yerine kullanilmistir. Bu okulda felsefe, geometri, müzik ( harmoni teorisi) ve jimnastik agirlikli bir egitim verilmektedir. Geometri dogru düsünmeyi ögrenmenin temel araci olarak kabul edilmekte ve o tarihlerde felsefe ile geometri içice denecek kadar birbirine yakin konular olarak görülmektedir. Platon bir arastirma yöneticisi gibi görev yapmakta, ögrencilerine çesitli geometri sorulari vererek, onlardan bu sorulari halletmelerini istemektedir. Bu okul M.S. 529’ a kadar, 900 yildan fazla faaliyet gösterecektir. Bu okulda çok sayida matematikçi yetismistir. Burada yetisen ilk önemli matematikçi Öklid (Euclid) ( M.Ö.325-265); son önemli matematikçi Proclus (M.S. 411-485) tur. Bu dönemin matematigi hakkinda en önemli kaynak Proclus’un eserleridir.

M.Ö.400-300 yillarinin en önemli matematikçi-bilim adami, Platon’un akademisinde de hocalik da yapmis olan, Eudoxus’tur. Pisagorcularin sayi anlayisini degistirerek, sayi’yi iki uzunlugun orani olarak tanimlayan ve bu tanima uygun bir sayilar aritmetigi gelistirerek, irrasyonel sayilarin kesfi sonucu, matematigi içine düsmüs oldugu krizden kurtaran; entegral kavraminin temelinde olan “exhaustion” yöntemini gelistiren ve ilk olarak bir evren modeli tasarlayan Eudoxus’tur.

“Exhaustion” yöntemi sekli düzgün olmayan, dolayisiyla alani yada hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alani yada hacmi bilinen sekillerle doldurarak o alani yada hacmi hesaplama yöntemidir. Bugün, bir fonksiyonun grafigi ile x ekseni arasinda kalan alani bulmak için kullandigimiz yöntem esasta bu yöntemdir.

M.Ö. 335 den itibaren, Makedonya’li büyük Iskender, 12-13 yil gibi kisa bir sürede Pers imparatorlugunun tamamini ele geçirir. Hindistan dönüsü, 322 de Babil’de ölür. Iskender’in ölümünden sonra, Iskender’in generalleri kanli bir iktidar mücadelesine girisirler. Bu mücadele sonucu, Iskender’in imparatorlugu üçe bölünür. Imparatorlugun Afrika daki topraklari ( Misir , Libya ) general Potelemi’ye, imparatorlugun Asya’daki topraklari general Seleukos’a ve Avrupa’daki topraklarda Antigonos’e düser. Böylelikle, daha sonra “ Yunan kültür bölgeleri” diye adlandirilacak olan Yunan medeniyetinin gelisecegi üç bölge ortaya çikar. Bunlar Yunanistan-Makedonya, Anadolu-Suriye ve Misir-Libya dir. Makedonya kralliginda Platon’un akademisi, Aristo’nun Lisesi gibi okullar egitimlerini daha uzun yillar sürdürürler ama daha çok felsefe agirlikli olarak.

Anadolu’da tip ve astronomide önemli bilginler yetisir, Galen ve Hipparkus gibi. Galen’nin tip konusunda 500 civarinda kitap (papirüs) yazdigi bilinmektedir. Galen, her ne kadar da Hipokrat ve Ibni Sina kadar ismi tip dünyasinin disinda çok bilinen bir kisi degilse de, tarihin en önemli bilim ve tip adamlarindan biridir. Matematik açisindan ise en önemli merkez Iskenderiye’dir.

Potelemi, Zeus’un sanat tanriçalari olarak bilinen kizlarina verilen (Muse) isminden esinlenerek, Iskenderiye’de tarihin en ünlü Üniversitelerinden birini, Museum’u kurar. Burasi M.Ö. 312-M.S. 421 tarihler arasinda, 700 yildan fazla bir zaman diliminde bir ileri bilimler merkezi olarak egitim ve arastirma faaliyetlerini sürdürecektir. Burasi, ücretleri devlet hazinesinden ödenen, 100 den fazla bilim adaminin çesitli dallarda egitim verdigi ve arastirma yaptigi bir kurumdur. Zamanla çok zengin bir kütüphane olusturacaklar, botanik bahçesi ve bir gözlem evine sahip olacaklardir. Yunan kültür bölgelerine ait önemli bilim adamlari burayi ziyaret edip, burada bir süre kalmislardir.

Museum’da ders veren ilk önemli matematikçi Öklid’ tir. Öklid’in yazdigi çok sayida eser arasinda en önemlisi, Öklid’in elementleri olarak bilinen 13 kitaplik bir dizi matematik kitaplaridir. O tarihlerdeki kitap uzunluklari bir papirüslüktür. Bu da bizim ölçülerimizle, 20 ile 50 sayfa arasinda bir kitaba karsilik gelmektedir. Bu kitaplarda Öklid o zamanlarda bilinen matematiginin sistematik bir derlemesini sunar. Bu eserin önemi Öklid’in geometriye yaklasimimda ve konularin takdimindedir. Öklid, geometride, önce, evrensel geçerligi olan, 5 aksiyom verir. Bunlar A=B ve B=C ise A=C gibi her sagduyunun kabul edecegi kurallardir. Sonra nokta, dogru, düzlem gibi kavramlarin ne oldugunu belirten 31 tanim verir. Sonra da Öklid geometrisinin postulatlari olarak bilinen su bes postulati verir.

1) iki noktadan bir dogru geçer.
2) bir dogru parçasi sinirsiz uzatilabilir.
3) bütün dik açilar bir birine esittir.
4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler.
5) Bir dogruya onun disindaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir.

Daha sonra, gökten bir seyler düsürmeden, mantiki çikarim yoluyla, bu postulatlardan çikarabildigi sonuçlari teorem, önerme olarak mantiki bir sirada sunar. Aksiyomatiko-dedüktif yaklasim dedigimiz bu yaklasim bugünkü matematigin ve bilimin de temel yaklasimidir. Ünlü düsünür Bertrand Russell’a göre, hiç bir kitap bati düsünce sisteminin olusmasinda bu kitap kadar etkili olmamistir. Bu kitap tarih boyunca belli-basli bütün dillere çevrilmis, 1000 defadan fazla basilmis, bütün medeniyetlerin okullarinda okutulmus, insanligin en önemli bas yapitlarindan biridir.

Museum da yetisen en önemli matematikçilerden biri de Perge’li Apollonius’tur. Antik Çagin, Öklid ve Arsimed’le beraber üç büyük matematikçi-bilim adamindan biri olarak kabul edilen Apollonius, konik kesitleri üzerine bugün de hayranlik uyandiran 8 kitaplik mükemmel bir eser birakmistir insanliga. (Bu 8 kitaptan 8.si bugüne kadar bulunamamistir).

Bütün zamanlarin en büyük bilim adamlarindan biri olarak kabul edilen Siraküs’lü Arsimed (M.Ö. 287-212) de bir rivayete göre Museum da yetismistir. En azindan bir süre burada kaldigi bilinmektedir. Arsimed icat ettigi mekanik aletlerinin yani sira, Öklid’in geometride yaptigini bir ölçüde mekanikte yapmis, mekanigin ve hidrostatigin temel ilkelerini yasalastirmaya çalismistir. Matematige katkilari, silindir ve küre hakkinda çalismalari; baslangici Eudox’a giden, “exhaustion” yöntemiyle bir çok seklin alanini hesaplamis olmasini sayabiliriz. Eudox’tan zamanimiza yazili hiçbir eser kalmamistir. Bu nedenle, belgeli olarak, bu yöntemin ilk olarak kullanildigi yer Arsimed’in eserleridir. Arsimed bu yöntemle, bir dairenin içine ve disina düzgün 96 kenarli çokgenler çizip, onlarin alanlarini hesaplayarak, pi sayisinin 3,10/71 ile 3,10/70 arasinda bir degeri oldugunu hesaplamistir. Bu da pi’ nin virgülden sonra ilk üç rakamini dogru olarak vermektedir. O zamana kadar pi sayisinin bilinen degerleri deneysel, ölçme yoluyla elde edilen degerler idi.

Museum da yetisen ve tarihin en önemli astronomlarindan biri olarak kabul edilen bir bilim adami da, batililarin Potolemy, dogulularin Batlamyüs olarak bildigi Claudius Potolemy’dir (M.S. 85-165). Batlamyüs, uzun yillar süren gözlemlerden sonra, Hipparkus gibi daha önce yasamis olan baska astronomlarin da gözlemlerini de kullanarak, tutarli bir evren sistemi olusturmus; genis astronomik ölçüm cetvelleri ve bir yildiz katalogu hazirlamistir. Batlamyüs’ün sisteminde, dünya sistemin merkezindedir; günes, ay ve diger gezegenler dünya etrafinda çembersel bir yörüngede dönmektedirler. Araplarin, en büyük manasina “almagest” dedikleri ve Yunanca ismi “matematica” olan ünlü astronomi kitabi 15 asir boyunca astronomi ile ilgilenen bütün bilim adamlarinin basucu kitabi olarak kalmistir.

Yunanlilar alfabelerinin harflerini rakam olarak kullanmislardir. Bu sistemde sayilarin yazilimi Romen rakamlarinin yazilimina benzer ama daha gelismis bir sistemdir. Yunun matematigi büyük ölçüde geometri olarak gelistigi için çok yetkin bir rakam sistemine ihtiyaç duymamislardir.

Bu kisimda anlatmaya çalistigimiz dönemde yasamis 100 den fazla matematikçinin ismi ve bazi çalismalari zamanimiza gelmistir. Bu da o dönemdeki bilimsel faaliyetlerin yogunlugu, devlet ve toplum nezdinde ki önemini göstermektedir.

Yunan matematigini degerlendirecek olursak, temel özellikleri sunlardir:

a) Yunanlilarla, matematik zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçmistir. Bu matematikte, günlük hayatta ise yararlilik degil, derinlik, estetik ön plandadir.

b) Yunan matematigi bugünkü manada moderndir; bugün biz nasil matematik yapiyorsak, o zaman onlar da böyle yapiyorlardi. Zaman içinde ispat anlayis ve standartlari degismektedir; ama Öklid’in verdigi ispatlar, bugün de büyük ölçüde geçerlidir.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 4:57 pm

Bu dönemi sona erdiren iki önemli etmen Roma’nin yükselisi ve Hiristiyanligin Roma imparatorlugunun resmi dini olusudur.

M.Ö. 150 yillardan itibaren Roma imparatorlugu genislemeye baslamistir. M. Ö. 30 lu yillara gelindiginde her üç Yunan kültür bölgesi de artik Romalilarin hükmü altindadir. Her ne kadar da idari ve askeri olarak Romalilar Yunan kültür bölgelerine hakim iseler de, kültürel olarak Roma imparatorlugu bir Yunan kolonisidir; az çok, Yavuz Sultan Selim’den sonra, Osmanlilarin Arap dünyasina hükmetmelerine karsin, kültürel açidan bir Arap kolonisi durumunda olduklari gibi. Bu nedenle, Romalilar Yunan kültür kurumlarinin (Platon’un akademisi, Bergama Okulu, Museum gibi) faaliyetlerine devam etmelerine müsaade etmislerdir. Iskenderiye’nin alinisi sirasinda Iskenderiye kütüphanesi yanmistir ama Bergama kütüphanesinden gönderilen 200.000 kitapla Iskenderiye kütüphanesi tekrar olusturulmustur. Romalilar Museum daki bilim adamlarin maaslarini devlet hazinesinden karsilamayi sürdürmüslerdir. Ne var ki, zamanla ekonomik durumun kötülesmesi egitim kurumlarinda etkileyecektir.

Bu kurumlara en büyük darbeyi vuran ise Hiristiyanlik olmustur. Hiristiyanlik ilk 300 yil yasakli oldugu için yer altinda gelismistir. Bu dönemde Hiristiyanlik çok hosgörülü ve bir esitlik dinidir. Bu nedenlerle, genis bir taraftar kitlesi bulabilmistir. M.S. 300 gelindiginde, Hiristiyanligin gelismesinin önlenemeyecegini anlayan Roma imparatoru I. Constantin 313 de Hiristiyanligin üzerindeki yasagi kaldirmis,Roma’dan ayrilarak, Roma imparatorlugunun baskentini Istanbul’a (Constantinople) tasimistir. 380 lerde, Hiristiyanlik Roma imparatorlugunun resmi dini olmustur. Bu tarihten itibaren, Kilise yavas-yavas sosyal ve egitim hayatina hakim olmaya, Hiristiyan ögretisinin disinda hiç bir ögretiye hos bakmamaya baslamistir. 390 de Kril (Cril) isimli bir papazin Iskenderiye kütüphanesini atese vermesiyle baslayan girisim, Museum’da çalisan bilim insanlarina saldirilara dönüsmüs; 421 de Museum’da ders veren ve tarihin ilk kadin matematikçisi olarak bilinen Hypatia [Hypatia, taninmis bir matematikçi olan Iskenderiyeli Heron’un kizidir] yobaz Hiristiyanlar tarafindan linç edilerek öldürülmüstür. Bu olaydan sonra Museum kapanmis ve 641 de Müslümanlarin Misiri fethi sirasinda da tamamen yanmistir.

Bu okulun kapanmasindan sonra, Museum da çalisan bilim adamlari kitaplarini alarak, Sasanilerin hakim olduklari bölgelere, Mezopotamya içlerine, özellikle Cundisapur’a (simdiki Irak’taki Beth-Lapat), sonralari da güneydogu Anadolu ya (Harran, Urfa) göçmüslerdir. 529 yilinda da Bizans imparatoru Jüstinyen, Atina’ da bulunan Platon’un akademisini kapatmistir. Bu tarih Yunan kültürünün hakim oldugu bir dönemin bitisi, karanlik çagin baslangicidir. Akademinin kapanmasindan sonra orada çalisan bilim insanlarinin bir kismi da doguya göçmüslerdir. Bu göçler kitlesel göçler degildi; bugün oldugu gibi o gün de bilim insanlari kitle olusturacak kadar çok olmamislardir. Bu göçlerin Haçli seferlerine kadar zaman -zaman devam ettigi anlasilmaktadir. Doguya göçen bu bilim adamlari, Yunan kültürüne asina olan ortamlarda, özellikle Nestorien- Süryani toplumlarda daha uzun yillar ögretilerini sürdürmeye, bilim mesalesini söndürmemeye çalisacaklardir. Islam biliminin temelinde bu insanlarin emegi, onlarin yaptiklari çeviriler vardir. Böylelikle bundan sonraki döneme, Müslümanlarin hakim oldugu döneme gelmis bulunuyoruz.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 4:59 pm

3- Islam Dünyasinda ve Orta Çagda Matematik :

611 den, Hz. Muhammed’in peygamberligini açiklamasindan yüz yil sonra, 711 ‘re gelindiginde, Islam imparatorlugu, doguda Çin sinirina ve Hindistan içlerine, batida, kuzey Afrika’dan ve Cebel-Tarik’tan geçerek, Pirene daglarina dayaniyordu. Bu arada, Istanbul kusatilmis (675-677), dogu ve güneydogu Anadolu’nun bir kismi fethedilmis, Kibris ve Sicilya alinmis, devasa bir imparatorluk olusturulmustu. Bu imparatorluk Samdan, Emevi hanedanligi tarafindan yönetilmekteydi.

Emevi’lerin Arap olanla olmayanlara farkli muameleleri orta Asya’da, Ebu Müslim Horasani’nin yönettigi büyük bir isyan çikmasina neden oldu. Bu isyan Basra civarinda baslayan Abbas ogullarinin isyaniyla birleserek Emevi hanedanligina son verdi. Kiyimdan kurtulan Emevi’lerden Abdurahman Endülüs’te Emevi hanedanligini daha bir süre devam ettirecektir.

Islam dünyasina bilim, 750 den sonra, Abbasiler zamaninda girmeye basladi. O tarihlerde, Basra bölgesinden yayilmaya baslayan ve Islam rasyonelsizimi olarak ta bilinen Mutezile (=ayrilanlar) tarikati, bu tarikatin Vasil bin Ata gibi o zamanki önderlerinin halife Mansur’a ve Sia imamlarina yakin olmalari, bu tarikatin devlet ve halk tarafindan benimsenmesine neden oldu. Dogrularin akil ve rasyonel düsünceyle bulunacagini savunan bu akim, Islam dünyasina bilimin girmesinin düsünsel zeminini olusturmustur. Abbasiler Sam’i baskent yapmayarak, Bagdat’i kurup orasini kendilerine baskent yapmislardir. Abbasi halifeleri Mansur, Harun Resit ve El-Mamun, Bagdat’ta “Dar’ül Hikmet “ ( Aklin Evi) diye bilinen, Iskenderiye’deki Museum benzeri bir medrese kurmuslar, büyük bir çeviri faaliyetine girismislerdir. Yukarida da belirtildigi gibi, ilk çeviriler, Yunan dil ve kültürüne vakif bölgelerdeki, özellikle Cundisapur ve güneydogu Anadolu’daki Süryani ve Sabiiler ( Harranli Tabit ibni Kurra ve çocuklari gibi) tarafindan yapilmistir.

Çeviriler sadece Yunanca’dan degil, Hindçe’den, Pehlevice’den, Ibranice’den... de yapilmistir. Böylelikle genis bir kütüphane olusturulacaktir. Bu çevirilerin çesitli kaynaktan yapilmis olmasindan da anlasilacagi gibi, Islam matematigi Yunan geleneginin bir devami olmaktan çok, Yunan, Mezopotamya ve Hind matematiklerinin bir sentezidir. Sayi sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir, daha çok Mezopotamya ve Hind geleneklerine; geometri ise Yunan gelenegine dayanir. Zamanimiza, 750-1450 yillari arasinda yasamis 50 kadar matematikçi-bilim adaminin ismi ve çalismalari gelmistir. Unutmamak gerekir ki, o tarihlerde yasamis olan bilim insanlarinin çogu, zamanin bütün bilimleriyle ugrasmis, ya da en azindan 3-4 bilim dalinda eser vermis insanlardir. Bu dönem Matematikçilerinden bir kaçini ele alalım.

Muhammet ibni Musa al-Harazmi (780-850):

Isminden güney Özbekistan’da dogdugu anlasiliyor. Hayati ve nerelerde okudugu hakkinda güvenilir bir bilgi yoktur. 810 dan sonra Bagdat’ta Dar’ül Hikmet’in kütüphanecisi olarak çalismaya baslamis ve 4 kitap yazmistir. Bunlardan biri cografya, biri astronomi, biri aritmetik digeri de bir cebir kitabidir. Biz bu son ikisi hakkinda biraz bilgi verecegiz. Al-Harazmi’nin en ünlü kitabi “ Al-Cebir ve Al-Mukabele” dir. Bu “indirgeme ve denkleme” manasina gelen baslik, daha sonralari “Cebir” (veya Algebra) olarak kisaltilacaktir. Bu kitapta Al-Harazmi ikinci dereceden bir polinomu katsayilarinin isaretine göre 6 sinifa ayirarak, sistematik olarak, her sinif için, köklerin nasil bulunacagini “algoritmik” bir yaklasimla göstermektedir. Örnek olarak, bizim bu gün olarak yazacagiz bir polinomu seklinde yazmaktadir ve bu polinomun köklerini bulmak için adim adim ne yapilmasi gerektigini söylemektedir. Unutmamak gerekir ki o tarihlerde henüz negatif sayilar kullanilmiyor ve sayi uzunluk olarak düsünülmektedir. Müslümanlar, burada söz konusu olan dönemde (750-1450), bir istisna (Abu Waffa (940-998)) disinda, negatif sayilari hiç kullanmamislardir.

Al-Harazmi’nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için, izlemis oldugu adim adim yaklasima günümüzde “algoritmik” yaklasim denmektedir; bu sözcük Al-Harazmi’nin ismi bozularak türetilmistir. Al Harazmi, daha sonra, algoritmik olarak buldugu kökü geometrik olarak da bularak yaptiklarini dogrulamaktadir. Son olarak ta Al-Harazmi kitabinda, bu yöntemin miras hesaplarina pratik uygulamalarini vermektedir. Bu kitap 1140 larda Latinciye çevrilmis ve 1600 lere kadar bati okullarinda kullanilmistir. Bu eser, hakkinda çok tartisma olan bir eserdir. Kimilerine göre, cebir’in esas babasi Diofand’dir; Al-Harazmi’nin cebiri Mezopotamya matematiginden daha ileri düzeyde degildir. Bu da büyük ölçüde dogrudur. Kimileri ise, bu eserin her sey ile orijinal oldugunu savunmakta. Açik olan bir sey varsa, o da bu eserden sonra, matematikte “cebir” diye bir ana bilim dalinin ortaya çikmasidir. Önemli olan diger bir husus da, algoritmik yaklasim dedigimiz, bu kitabin yöntemidir. Al-Harazmi’nin diger kitabi bir “Hesap” kitabidir. Bu kitabin Arapçasi günümüze ulasmamistir; var olan bir Latince çevirisidir. Bu kitapta, Al- Harazmi bugün kullandigimiz Hind-Arap rakamlari olarak bilinen ( 1,2,...,9, 0) rakamlari tanitmakta; onlarla sayilarin nasil yazildigini, toplama, çarpma gibi islemlerin nasil yapildigini anlatmaktadir. Burada sifir bir “ bosluk dolduran sembol” olarak kullanilmistir, sayi olarak degil. Sayi olarak, sifir ilk kez, 876 de Hindistan’da kullanilmistir. Daha önce de kullanildigi hakkinda bilgiler vardir ama herkesin hem fikir oldugu tarih bu tarihtir. Negatif sayilarin da Hindistan’da 620 lerde kullanildigi bilinmektedir ama az-çok yaygin olarak kullanilmaya baslanmalari 1600 ler den sonradir.

Ömer Hayyam (1048-1131) :

Nisabur da dogan Ömer Hayyam, 1073 den sonra, Isfahan’da kurulan rasathanede, Selçuk hükümdari Melik Sahin “müneccim basi” olarak çalismaya baslamis. Zamanimiza Rubailerinden baska bir cebir kitabi ve astronomiyle ilgili çalismalarindan da bazi kisimlar kalmistir. Cebir kitabinda, üçüncü dereceden polinomlarin bir siniflandirmasini yaparak, konik kesitlerini kesistirerek, bu polinomlarin köklerini geometrik olarak bulmaya çalismistir. Ömer Hayyam astronom olarak, gözlem ve ölçümlere dayali, bir takvim reformu yaparak, yeni bir takvim (Celali takvimi) hazirlamistir. Bu gayeyle, Ömer Hayyam bir günes yilinin uzunlugunu 365.24219858156 gün olarak hesaplamistir. Simdi bilinen, bir yilin 365.242190 gün oldugunu ve her 70-80 senede virgülden sonraki 6. rakamin degistigini burada belirtelim.

Sarafeddin al-Tusi (1135-1213) :

Isminden, Iran’in Tus sehrinde dogdugu anlasilmaktadir. Muhtemelen Mesed yada Nisabur’da yetismistir. Sam, Halep, Musul ve Bagdat da matematik okutmustur. Önemli bir cebir kitabinin yazaridir. S. Al-Tusi de, Ömer Hayyam gibi üçüncü dereceden polinomlarin köklerini bulmak için ugrasmistir. Harazmi’nin izinden giden S. Al-Tusi, üçüncü dereceden denklemleri 25 sinifa ayirarak, cebirsel yaklasimla, onlarin köklerini bulmaya çalismistir. Bugünkü notasyonla, gibi bir denklemin belli bir aralikta çözümünün olabilmesi için, nin in maksimumu ile minimumu arasinda olmasi gerektigi anlayan S. Al-Tusi , bu ifadenin maksimumun bu ifadenin “türev” inin sifir oldugu yerde aramasi gerektigini anlamistir. Kimi yazarlara göre bu türevin kesfidir. Ne yazik ki o zaman bu kesfin degeri anlasilmamis, türevin farkina varilmamistir. Matematigin en önemli kesiflerinden olan türev, 1636 de Fermat tarafindan tekrar kesfedilecek ve bu da, analitik geometri ile beraber, kalkülüsün dogumuna neden olacak ve matematikte bir devrim yaratacaktir.

Nasireddin Al-Tusi (1201-1274) :

O devir Islam dünyasinin en büyük bilim adamlarindan olan N. Al-Tusi, Tus ve Nisapur’da okumustur. Mantik, Ahlak, Felsefe, Astronomi ve Matematik kitaplari yazmistir. Hayatinin önemli bir kismini, Hasan El-Sabahin örgütünün merkezlerinden biri olan, ve çok iyi bir kütüphanesi oldugu bilinen, Alamud kalesinde arastirma yaparak geçirmistir. Bu kale 1256 da Hülagü han tarafindan alindiktan sonra, Hülagü hanin müneccim basi olmus, 1262 den sonrada Marageh’de ( Güney Azerbaycan’da, Tebriz civarinda ) Hülagü hanin emriyle kurulan rasathanede arastirmalarini sürdürmüs ve bir ziç, Ziç-i-Ilhani’ yi hazirlamistir. Ziçler, astronomik hesaplar için gerekli olan, sinüs cetvelleridir. N. Al-Tusi’nin astronomi ile ilgili çalismalari, Batlamyüs’den sonra Copernicus’un çalismalarina kadar, astronomi hakkinda en önemli çalismalardan biri olarak kabul edilir. Matematikle ilgili en önemli çalismasi, düzlem ve küresel trigonometri ile ilgili çalismalaridir. Bu eserden sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan çikip, matematigin bir ana dali olmustur. Bunun disinda, Yunanca’dan çeviri çok sayida matematik kitaplarina izah ve yorumlar yazmis; bir sayinin n inci kökünü bulmak için çalismalar yapmistir. Batili matematikçi ve astronomicilerin, eserlerinden en çok yararlandiklari islam dünyasi bilim adamlarinin basinda N. Al-Tusi gelir.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 5:11 pm

Cemsit Al-Kasi (1380-1429) :

Kasan (Iran) da dogmustur. Kasan’da yetistigi anlasilan Al-Kasi, 1420 den itibaren ölene kadar, Ulug Bey ve Kadizade ile Semarkand’ ta Ulug Bey medresesinde ve rasathanesinde çalismistir. Timurleng’in torunu olan Ulug Bey (1393-1449) iyi bir matematikçi, bilim asigi bir hükümdardi. O tarihlerde Ulug Bey’ in medresesinde 60 civarinda zamanin en iyi bilim adamlari ders vermekte ve arastirma yapmaktadir; bu metrese, pozitif bilimlerin okutuldugu ve bilimsel bir sayginligi olan Islam ülkelerindeki son metresedir. Al-Kasi, Ulug Bey’le beraber, N. Al-Tusi’nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Ulug Bey’in ziçlerini hazirlamistir. Bu ziç’te 1 den 90 dereceye kadar olan açilarin, birer dakika arayla, sinüsleri verilmistir. Bu da 60x90=5400 giris demektir. Her açinin sinüsü, virgülden sonra 8. haneye kadar verilmistir. Bu is bugünün imkanlariyla bile, kolayca yapilacak bir is degildir. Ayrica bu ziç, günes, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakkinda detayli bilgi ve gözlem tablolari içermektedir. Al-Kasi muhtesem bir hesap yetenegi olan matematikçidir. Yari çapi 1 olan bir daireyi 3x2^28=805. 306. 368 kenarli bir poligonun içine oturtarak, pi sayisinin virgülden sonra 16 hanesini ( 10 ve 60 tabanli sayi sistemlerinde) dogru olarak vermistir. Bu rekor ancak 200 yil sonra kirilabilecektir. Al-Kasi, içeriginin zenginli, ispatlarinin açikligi ile orta çagin en iyi kitaplarindan biri olarak kabul edilen “Aritmetigin Anahtari” baslikli bir kitabin da yazaridir. Ondalik kesirlerle 4 islemin nasil yapilacagini açiklayan da Al-Kasi’dir.

Al-Kasi’nin ölümünden sonra Ulug Bey’e ziçlerini tamamlamasina ve gerekli izahlarin yazilmasina, Al-Kasi ve Kadizade’ nin ögrencisi olan, Ali Kusçu yardim etmistir. 1449 da Ulug Bey’in, devlet isleriyle ugrasmiyor, hayirsiz bilimle ugrasiyor diye öz oglu ve akrabalari tarafindan öldürülmesinden sonra, Ulug Bey’in medrese ve rasathanesi de çökmüstür. Bu Islam dünyasindaki son önemli pozitif bilim merkezinin sönmesidir. Bu son ismi geçen kisiler Islam dünyasinin matematikçi diyebilecegimiz son bilim adamlaridir. 1450 den 1930-40 lar’a kadar Islam dünyasinda orijinal bir çalisma yapmis ve matematikçi diye nitelendirebilecegimiz bir kisinin ismi bilim tarihinde geçmemektedir.

Müslümanlarin matematige katkilarini, bu konuda çok çeliskili yargilarin olmasi nedeniyle, degerlendirmek çok zordur. Müslümanlarin matematige katkilari kimi yazarlar tarafindan sifirlanirken, kimi yazarlar tarafindan da göklere çikartilmaktadir. Kimi yazarlara göre Müslümanlarin matematige hiç bir katkisi olmamistir; bütün yaptiklari bir buzdolabi görevi görmekten ibarettir. Yunanlilarin pisirdiklerini, Avrupalilar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklamislar, günü geldiginde de Avrupalilar onu alip yemislerdir. Kimilerine göre ise, Müslümanlarin matematige ve astronominin gelismesine kapsamli özgün katkilari olmustur; bu gün batili bilim adamlarinin adini tasiyan bir çok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar tarafindan bulunmustur. Görülen o ki Müslümanlar sulayip büyüttükleri agaçlarin meyvelerini toplayamamislar; ve Müslümanlarin bilime katkilari yeteri kadar arastirilip degerlendirilmemistir. Bu isi yapanlarin çogunlukla yine batili bilim tarihçilerin olduklarini unutmamak gerek. Müslüman matematikçilerin Küresel geometriye, cebire, sayilar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katkilari olmustur ve bu katkilar hiçte küçümsenecek ölçülerde degildir. Ayrica, insanligin ortak ürünü olan bilimin önemli bir halkasi, eskiyle yeniyi baglayan halkasi, Islam bilimidir. Bu halka olmadan, bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacakti.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 5:12 pm

4- Klasik Matematik Dönemi :

1700- 1900 yillari arasini kapsayan ve matematigin altin çagi olarak bilinen, bu dördüncü dönem, klasik matematik dönemidir. 18. asirda matematige en önemli katkilari yapan bilim adamlarinin basinda Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz.

Leonhard Euler (1707-1783) Isviçre’de, Basel de dogmus, meslek hayatinin tamami Petersbourg ve Berlin’de geçmistir. Tarihin en üretken bilim adamidir. Kalkülüsün ortaya çikardigi olanaklari sayilar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine... uygulayan Euler, 30.000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmistir. Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmis makalelerinin yayini sürmüstür. Euler’le matematik evrensel boyutlara erismistir. Bugün bile matematikçilerin yaptigi islerin bir çogunun temel fikri veya baslangici Euler’in çalismalaridir. Euler’le Analiz yeni bir bilim dali olarak temeyyüz etmistir; bu dalin büyük babalari Eudoxus ve Arsimed ise, babasi Euler’dir.

Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da dogmustur. Gök ve yer mekanigi hakkinda yazdigi 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkinda yazilmis en kapsamli eserlerinden biridir. “Theorie Analytique des Probabilites” baslikli kitabi olasilik teorisinin ilk önemli eseridir.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Italya’da Turin’da dogmus, meslek hayatinin büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmistir. Italya’da dogmasina ragmen Fransiz matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirligi, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabina önemli katkilar yapmis, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanilan bir bilim adamidir.

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te dogmus, Fransa’da yasamistir. D’Alembert kismi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarindan biridir. Kismi differensiyel denklemler ve akiskanlar mekanigi ilgili çalismalari ve felsefi yazilari disinda, Diderot ile beraber editörlügünü yaptigi ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen hemen tümünü D’Alembert yazmistir. Bu eser Fransiz aydinlanmasinin temel eserlerinden biridir.
Bu yüzyilin matematigi çesitli, kapsamli ve fikir yönünden zengindir. En önemli zaaflari, kesinlik (rigor) eksikligi; yapilan islerin, günümüzün standartlarina göre, yarim yamalak, kusurlu ve eksik olusudur.

1800-1900 Arasi. 19. asir çok sayida, matematige önemli katkilari olmus, bilim adamin yasadigi bir asirdir.1800 lerin basinda matematik derin bir kriz içindeydi. Bunun nedeni, Fermat (1636) dan beri türevin taniminda, ve türevin ise karistigi bir çok yerde, sonsuz küçük (infinitesimal) kavraminin kullanilmasi ve matematikçilerin bunu çok tutarsiz bir sekilde kullanmalariydi. Bu tarihlerde henüz limit kavraminin olmadigini ve türevin limit vasitasiyla degil, “sonsuz küçük” kavrami kullanilarak tanimlandigini burada belirtmem gerekir. Bu tutarsizlik çok elestirilmis, özellikle de düsünür-din adami G. Berkley (1685-1753) nin matematikçilerin tutarsizligini ortaya koydugu 40 sayfalik bir elestiri kitabi derin etki yapmis, bir çok matematikçinin meslek degistirmesine ve matematige karsi tavir almalarina neden olmustur. 1800 basinda, fonksiyon kavraminin, son yüz yildir kullanila gelmesine karsin, henüz tam olarak tanimlanmamis olmasi ve matematikçilerin fonksiyonu ayni sekilde anlamamalari da baska bir anlasmazligin ve karmasanin nedeniydi. Yine,1800 lerin basinda süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakinsakligi tam olarak anlasilmamisti; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakinsaklik kavramlari ortada yoktu.

Entegral kavrami türev kavraminin tersi olarak görülüyordu; türevden bagimsiz bir entegral ve entegrallesebilirlik kavrami yoktu. 1800 lerin basinda, bugün matematigin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu. Geometride, antik Yunan çagindan kalma ve çok ugrasilan bes sorudan ( Bunlarin ilk dördü, geometrik çizim yaparak, 1) bir açiyi üç esit parçaya bölmek. 2) Alani verilen bir dairenin alanina esit alani olan bir kare çizmek. 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katina esit hacmi olan bir küp bulmak; ve 4) bir dairenin içine, p sayisi asal olmak kaydi ile, hangi p ler için düzgün p-genler çizilebilecegini bulmak idi. 5. Soru, Öklid geometrisinin besinci postulati olan, “bir dogruya onun disindan bir ve yalniz bir paralel çizilebilir “ postulatinin diger dördünün sonucu olarak elde edilip-edilemeyecegi ) idi. Bu sorulardan hiç biri, 4 cü soru disinda, ki o da Gauss tarafindan daha yeni çözülmüstü, çözülememisti. Cebirde, 5 ci dereceden polinomlarin köklerinin cebirsel ( köklü ifadelerle) çözülüp-çözülemeyecegi henüz bilinmiyordu. Cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayi gibi hiçbir yapisi henüz ortaya çikmamisti. Matris ve vektör kavramlari henüz yoktu ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyor). Cebirin temel teoremi olarak bilinen, D’Alembert-Gauss Teoremi (“Her polinomun en az bir kompleks kökü vardir” diyen teorem) henüz ispatlanmamisti. Matematiksel fizigin ana teoremleri henüz ortada yoktu; differensiyel geometri, topoloji gibi konular henüz dogmamisti.

1800 lerin basinda matematigin durumu kisaca bu idi. 1820 lerde, A. Cauchy (1789-1855) limit kavramini, bugünkü kullandigimiz sekliyle, tanimlayip, türevi, sürekliligi ve, sürekli fonksiyonlar için, entegrali, limit kavrami yardimiyla tanimlamasi, analizi, sonsuz küçük kavramindan kaynaklanan krizden kurtarmis ve daha saglam temeller üzerine oturtulmasini saglamistir. Cauchy’nin çalismalari sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi dogmus ve, Cauchy, B. Riemann (1820-1866) ve K. Weierstrass (1815-1884) gibi asrin büyük matematikçilerinin çalismalariyla, matematigin en temel teorilerinden birine dönüsmüstür.

G. Dirichlet’nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavramini bugün anladigimiz manada tanimlamasi matematigi baska bir kargasadan kurtarmistir. Bu da özellikle Fourier serileri hakkinda tartismalari sona erdirecek, Fourier serileri ile ilgili çalismalari tekrar baslatacaktir. Fourier serileri Analizin gelismesinde en önemli rolü oynayan, bir bakima modern matematigin dogusuna neden olan, gerek uygulamalari ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açisindan, matematigin en önemli konularindan biridir.

Weierstrass ve ögrencilerinin çalismalari sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakinsaklik gibi analizin vazgeçilmez kavramlari ortaya çikacak, fonksiyon serilerinin yakinsakligi daha iyi anlasilacaktir.

F. Gauss’un (1777-1855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da D’Alembert Teoremi” olarak bilinen teoremi ispatlamasi bu asrin baska bir önemli olayidir. Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir. Bütün zamanlarin en derin, en büyük bilim adamlarindan biri olarak kabul edilen Gauss’un, sayilar teorisi, differensiyel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkilari bu asrin en önemli çalismalari arasindadir.

Bu asrin ve bütün zamanlarin en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann kisa yasaminda, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu baslatmis ya da onlara derin katkilar yapmis, matematige kavramsal bir bakis ve yaklasim getirmistir. Bunlardan bir kaçi: Riemann entegrali ve entegrallesebilirlik kavrami, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayilar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve, daha sonralari topoloji ismini alacak olan, analysis situs tür.

Yine bu asirda, yukarida sözü edilen, antik Yunan çagindan kalma 5 sorunun besi de çözülmüstür. 1. ve 3. sorularin mümkün olmadigi bir Fransiz matematikçisi olan Wentzel tarafindan 1837 de ispatlandi. 2. sorunun mümkün olmadigi, Lindemann’in 1882 de pi sayisinin tranzantal bir sayi oldugunun ispatindan sonra anlasildi. 4. soru, yukarida da söylendigi gibi Gauss tarafindan 1796 da (p=17) için ve 1801 de de diger p ler için tam olarak çözüldü. Cevap sudur: p bir asal sayi olsun. Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter kosul p nin ve seklinde olmasidir. ( k=0 için, p=3 dür; k=1 için p=5, ve k=2 için p=17 dir). Bir dairenin içine düzgün bir besgenin çizilebilecegini Öklid biliyordu; 7-gen çizilemeyecegini Arsimed biliyordu. Arsimed’den 1800 yillari arasinda geçen 2000 yilda bu soruda hiçbir ilerleme saglanmamisti; bu sorunun çözümü için Gauss’un dehasi gerekiyordu.

Öklid’ in 5. postulatina gelince, bu sorunun çözümü için insanlarin, “mantiki tutarlilik” ile “fiziki olurlulugun” ayni sey olmadigini anlamalari gerekiyordu. 5. postalatin yerine onun zitlari olan postulatlar koyarak, Öklid geometrisi kadar tutarli, iki yeni geometri olusturulabilecegi Lobachevki (1792-1856), Bolyai (1802-1860), ve Riemann tarafindan gösterildi.

Cebir cephesine gelince, genç yasta bu dünyadan ayrilan iki matematikçi, H. Abel (1802-1829) ve E. Galois (1811-1832) nin 5. dereceden polinomlarin cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup-bulunamayacagi konusunda çalismalari sonucu grup teorisi dogdu. Kummer (1810-1893) ve ögrencilerinin Fermat’nin büyük teoremiyle ispatlamak için verdikleri ugrasi sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R. Dedekind (1831-1916) Gerçel sayilarin soyut bir tanimini vermek için yaptigi çalismalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895 ) ve Sylvesterin (1814-1897 ) çok sayida dogrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptiklari çalismalar sonucu matris cebiri; ve Grassman (1809-1877 ) nin üç boyuttan çok boyuta geçme çabalari sonucunda da vektör uzaylari dogdu. Bu kavramlar matematige yapisal (= stuructualist) yaklasimi ve bakis açisini getirecektir.

Bu dönemi, 1700-1900 arasini, matematikte büyük ilerlemelerin oldugu, çok sayida yeni teorinin dogdugu, yapisal degisikliklerin oldugu, ispatlarda kesinligin ön plana çiktigi, kavramsal bakis açisinin hesapsal yaklasimin önüne geçtigi bir dönem, matematigin altin çagi, olarak özetleyebiliriz.

Altin çag bir krizle kapandi. Bu kriz yeni bir çagin dogum sancilariydi. Bu çag modern matematik çagidir.

Konu: Geri: MATEMATİK TARİHİ 1 Ptsi Ocak 05, 2009 5:13 pm

5-Modern Matematik Dönemi :

Kümeler teorisinin, dolayisiyla, modern matematigin, babasi Georg Cantor (1845-1918) dir. G. Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayilar teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatinin sonuna kadar çalisacagi Halle üniversitesinde ise baslamistir. Halle üniversitesinde çalismaya basladigi yillarda, o üniversitenin hocalarindan, E. Heine’nin Cantor’a sordugu bir soru Cantor’un yasamini, matematigin de seyrini degistirecekti. Bu soru su idi: Bir periodluk bir aralikta, toplami sifir olan bir trigonometrik serinin katsayilarinin hepsi sifir midir?

Cantor bu soruyla ugrasirken gerçel sayilarin o güne kadar fark edilmeyen bir özelliginin farkina varir. Bu da rasyonel sayilarla irrasyonel sayilarin ayni çoklukta olmadigidir. Baska bir ifadeyle, rasyonel sayilarin kümesiyle irrasyonel sayilarin kümesi arasinda, her iki kümenin de sonsuz olmasina karsin, bire-bir bir dönüsüm yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzluklari ayni degildir. Böylelikle ortaya küme kavrami ve kümelerin, içerdikleri eleman çoklugu açisindan, siniflandirilmasi sorunu çikti. Bu son kavram “sonsuzun” tek degil, çok oldugunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti.

Tarih boyunca, Elea’ li Zeno’dan baslayarak, günümüze kadar, “sonsuz” insanlari rahatsiz etmistir. Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde “sonsuz” anlayisi, temelde Aristo’nun görüsü olan, su anlayistir: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konusma kolayligi sagladigi için kullandigimiz bir kavramdir. Bu kavrami “sinirsizlik” kavrami yerine kullaniriz; bir sey, çogalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyecegimiz bir çoklugun ya da büyüklügün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o seye sonsuza gidiyor deriz. Baska bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayisi “potansiyel sonsuz” anlayisidir.

Cantor’a göre ise “sonsuz” tek basina manali bir söz degildir; manali olan “sonsuz küme” kavramidir; sonsuz kümeler ise var olan nesnelerdir. Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne gibi, bölünmez bir terim olarak anlasilmalidir. Baska bir deyimle, Cantor’un sonsuz anlayisi “ actual sonsuz” anlayisidir. O halde önce kümeler sonlu-sonsuz diye ikiye ayrilacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarinda, sonsuzluklarina göre, çesitli siniflara ayrilacaktir. Böylelikle ortaya sayisiz “sonsuz küme” siniflari çikacaktir. Bu da çok çesitli “sonsuzlugun “ oldugu manasina gelmektedir.

Cantor’un bu sonsuz anlayisi, Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafindan tepki ile karsilandi. Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrildilar.

Küme kavraminin, aksiyomatik olarak tanimlanmaksizin, Cantor’un yaptigi gibi, sözlük manasinda kullanilmasi, kümeler teorisini de çikmaza soktu; “bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradokslari ortaya çikardi. Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü.

Üçüncü bir sorun da, bir matematiksel ispatin ne oldugu, geçerliligi, mesrulugu sorunuydu. Matematikte deney ya da gözlem olmadigi için, tartisma konusu olan bir ispat, teori veya teorem hakkinda son sözü deneye, ya da gözleme birakma olanagi yoktur. Bu, önünde-sonunda, “gerçek, hakikat, dogru” gibi felsefi, hatta metafiziksel bir sorundur.

Bir matematikçi “öyle bir x vardir ki...” dedigi zaman var oldugunu iddia ettigi seyi somut olarak ortaya koymak, en azindan nasil insa edilebilecegini göstermek zorunda midir; yoksa, bir din adaminin dini ilkelere dayanarak seytanin varligini ispatladigi gibi, bir matematikçinin de, aradigi seyin nasil elde edilecegini göstermeksizin, o seyin var oldugunu, bir takim ilkelere dayanarak, ispatlamasi yeterli midir?

Bu üç sorunla ilgili farkli görüs ve anlayislar matematikçileri derin tartismalara, çesitli ekollere (sezgiciler, mantikçilar ve formalistler olarak) bölünmelere, ve sonuçta da matematigi derin bir krize itti. Bu “ Matematigin Temelleri Krizi” denen krizdir. Matematigin artik eskisi gibi kendi gelenek-göreneklerine göre yapilamayacagini anlayan matematikçiler, bu krizden çikmak için matematigin bir “anayasal” temele oturtulmasi gerektigini anlayarak, küme kavramini aksiyomatik olarak tanimlayip, matematigi aksiyomatik kümeler temeli üzerine insaa etmeye çalistilar; gerektiginde kümeler teorisinin aksiyomlarina “seçim aksiyomu” gibi aksiyomlar da ilave edilecek ve böylece bugünkü modern matematik olusmaya baslayacaktir. Böylece “Modern Matematik” dogdu. Kisa bir tanim vermek gerekirse, “modern matematik” klasik matematigin anayasal bir tabana oturtulmus seklidir, diye tanimlayabiliriz. Artik bu yasal çerçevede neyin mesru, neyin mesru olmadigi saglikli bir sekilde tartisilabilecektir.

Bundan sonra matematigin, aritmetik, geometri, ... gibi çesitli kisimlarinin aksiyomatik bir temele oturtulma girisimleri basladi. D. Hilbert’in (1862-1943) rüyasi, matematigin bütününü, hiç olmazsa, aritmetik, geometri gibi her ana dalini öyle aksiyomatik bir temele oturtmakti ki, o dalin her önermesi, o dala özgü aksiyomlardan hareketle, olumlu ya da olumsuz bir yönde, karara baglanabilsin idi. 20 ci asir matematiginin en önemli teoremi; derinlik ve önem açisindan, Einstein’nin görecelik ve Heisenberg’in belirsizlik ilkeleriyle ayni düzeyde oldugu kabul edilen, K. Gödel (1906-1978) in “eksiklik” teoremi Hilbert’in bu rüyasinin bir rüya olarak kalmaya mahkum oldugunu gösterdi. Gödel’in teoremi, matematigin aritmetik gibi bir ana dalini nasil bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalim, aksiyom sistemimizin tutarli, bagimsiz ve anlasilabilir olmasi kosuluyla, tamlik ilkesini saglayacak sekilde o bölümü aksiyomatiklestirmemiz mümkün degildir, diyor. Baska bir ifade ile, aksiyomlarimizin disina çikmadan, aksiyomlarimiz tutarli iseler, dogrulugunu da, yanlisligini da ispatlanamayacak bir önerme üretmek her zaman mümkündür.

Buradaki temel sorun “dogru” ile “ispatlanabilir” kavramlarinin esdeger kavramlar olmamasidir. Klasik mantigin temel ilkelerinden biri söyle der: Bir önerme ya dogrudur ya da yanlis; ayni zamanda dogru ve yanlis, ya da baska bir sey olamaz. Ayni ilke “ispatlanabilirlik” için geçerli degildir. Gödel’den önce, verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, önünde-sonunda dogrulugunun ya da yanlisliginin ispatlanacagi yönünde derin bir inanç vardi. Gödel’in teoremi bu inanci yikti.

Gödel’in bu teoremi çesitli sekillerde yorumlandi. Matematigin sinirlarini asip felsefeye dayanan bu yorumlarin her biri tartismaya açiktir; ancak Gödel’in teoreminin matematigin her seyi anlamamiza olanak vermedigini, dolayisiyla her gerçegi kavramayacagimizi (ya da, mantik yoluyla mutlak hakikate erisemeyecegimizi) gösterdigi de tartisilmazdir.

20 inci asirda da, 19 uncu asirda oldugu gibi, çok sayida yeni teoriler ortaya çikti. Bunlardan bir kaçi: Metrik uzaylar (1902), topolojik uzaylar (1914), fonksiyonel analiz (1924), Banach cebirleri (1940), distribüsyon teorisi (1950), operatörler teorisi (1930), Felaket (Catastrophe) teorisi (1950)....

Bu asrin matematiginin temel özellikleri: Hiçbir asirda olmadigi kadar soyut olmasi; kavramsal ve yapisal olmasidir. Matematikte çalisan insan sayisi ve yapilan üretim hiçbir asirda 20. asirdaki kadar yüksek olmamistir. Üretimin çoklugu, çesitliligi, kullanilan dilin konuya özel olusu, matematigin bütünü hakkinda bir bilgi sahip olmayi imkansiz kilmaktadir.

Prof. Dr. Ali Ülger
Koç Üniversitesi

» MATEMATİK TARİHİ 2
» DEV MATEMATİK ARŞİVİ
» MATEMATİK NEDİR ?
» MATEMATİK NİÇİN DOĞDU ?
» MEDENİYETLER TARİHİ